Составление функций положения точек звеньев рычажного механизма

Основной целью данного этапа курсового проекта является нахождение передаточных функций. Для этого находятся аналитические функции положения точек звеньев механизма, а затем рассчитываются первые производные по обобщенной координате для определения передаточных отношений скоростей точек и звеньев и вторая производная по обобщенной координате для определения передаточных отношений ускорений точек и звеньев. Это следует из определений.

Рассмотрим наиболее распространенные схемы механизмов и составим для них аналитические функции положения.

К этому этапу для любого механизма известны:

• длины всех звеньев
• начало отсчета обобщенной координаты
• направление вращения коленчатого вала

Для данной схемы закон изменения обобщенной координаты записывается следующим образом:

где:

• \(\varphi\) - переменная, принимающая значения \([0;2\pi]\) или \([0;4\pi]\);
• \(\varphi_0\) - начальное значение обобщенной координаты;
• \(\omega_{q1}\) - направление вращения кривошипа, \(-1\) при вращении по часовой стрелке и \(1\) при вращении против часов стрелки;

Аналитические функции положения

Кривошипно-ползунный механизм

Рассмотрим горизонтальную конфигурацию, ориентированную вправо.

Горизонтальный кривошипно-ползунный механизм

Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:

Для определения координаты точки С, рассмотрим иллюстрацию:

Определение угла \(\varphi_2\)

В прямоугольном треугольнике \(BCX_B\), один из катетов совпадает с ординатой точки В, а гипотенуза равна длине шатуна 2. Определим синус этого угла, а затем сам угол:

Зная угол \(\varphi_2\), легко вычислить проекцию шатуна на ось Ох и определить координаты точки С. Учтем, что механизм соосный, и направляющая ползуна совпадает с осью Ох. Тогда:

Положение центра масс \(S_2\) находится по аналогии:

Положение точки D можно определить, если вспомнить определение движения твердого тела, исходя из которого, все точки этого тела движутся по одной траектории. Тогда:

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для кривошипно-ползунного механизма можно найти на странице калькулятора.

Четырехшарнирный механизм

Четырехшарнирный механизм

Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:

Точка D, как и точка А, покоится и принадлежит шарниру стойки, и имеет координаты:

Для нахождения координаты точки C определим, что, с одной стороны, она совершает качательное движение по дуге окружности с центром в точке D радиусом, равным длине коромысла \(l_{DC}\), с другой, совершает сложное движение относительно точки B.

Введем дополнительный вектор DB, и, зная координаты точки B и D, вычислим его длину:

Теперь найдем угол \(\gamma(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через вектор DB, например, с применением встроенной функции Mathcad \(angle\):

Рассмотрим треугольник CDB, в котором известны длина коромысла \(l_3\), длина шатуна \(l_2\), длина вектора DB \(l_{DB}\). Применим теорему косинусов и выразим угол \(\psi(\varphi)\):

Найденные углы позволяют найти угол \(\varphi_3(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение коромысла:

Тогда координаты точки С находятся:

Положение центра масс \(S_3\) находится аналогично:

Для нахождения положения центра масс \(S_2\) необходимо определить угол \(\varphi_2(\varphi)\):

Тогда:

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.

В заключении рассмотри шестизвенный механизм. Для механизма с качающейся кулисой алгоритм аналогичен с четырехшарнирным и шестизвенным механизмами, кроме того, этот расчет есть в разделе калькуляторы.

Шестизвенный механизм

Шестизвенный механизм

Точка О покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

Точка A движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке O, поэтому:

Точка D покоится, является осью вращения коромысла 3 и принадлежит шарниру стойки. Ее координаты:

Точка B двигается по дуге окружности относительно точки D. Для нахождения координат точки B введем дополнительный вектор DA и определим его длину \(h_3\) в зависимости от обобщенной координаты:

Определим угол \(\varphi_3\) между горизонталью и введенным вектором:

Тогда координаты точки B:

Точка С совершает возвратно-поступательное движение по вертикали, проходящей через точку D, поэтому:

Для определение координаты точки С по оси ординат вводим угол \(\varphi_4(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение шатуна:

Тогда:

Если точка С принадлежит твердому телу, и в исходных данных указан вылет резца, тогда координаты точки \(S_5\):

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.